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    <title>数学游戏</title>
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<body>

<p class="example">
	一只猩猩离家 50 米, 身边有 100 根香蕉. 如果猩猩每次最多携带 50
	根香蕉, 且每移动一米都消耗一根香蕉, 问猩猩最多能把多少根香蕉带到家?
</p>

<p class="solution">
	我们的方案如下:
	第一步, 让猩猩携带 50 根香蕉前进 x 米, 放下尽可能多的香蕉后原路返回.
	依题意, 最多在 x 米处放 50-2x 根香蕉.<br/>
	第二步, 让猩猩携带剩下的 50 根香蕉, 连同在 `x`
	米处暂存的香蕉一起带回家. 这一段路共消耗 50 根香蕉, 所以带回家的香蕉有
	50-2x 根. 注意在 x 米处猩猩携带的香蕉不能超过 50 根, 所以
	<span class="formula">
		(50-2x) + (50-x) &le; 50,
	</span>
	令 y = 50-2x, 从上式解得 y &le; 50/3, 即 y &le; 16.
</p>

<p class="example">
	若多面体表面只由正五边形和正六边形组成,
	则五边形的个数一定是 12 (如, 正十二面体或足球).
</p>

<p class="proof">
	设有 `x` 个五边形, `y` 个六边形, 又设该多面体的顶点数为 `V`, 棱数为
	`E`, 面数为 `F`.
	我们有
	<span class="formula">
		`F = x + y`, `quad 2E = 5x + 6y`.
	</span>
	因为正五边形和正六边形的内角均大于直角, 所以每个顶点处恰有三个面相交,
	即
	<span class="formula">
		`2E = 3V`.
	</span>
	最后, 再和 Euler 公式
	<span class="formula">
		`V - E + F - 2 = 0`
	</span>
	联立, 得到
	<span class="formula">
		`x = 12`, `quad y = V/2 - 10`.
	</span>
</p>

<ol class="example">
	<b>海盗分金</b>
    5 个海盗抢得 100 枚金币后讨论分赃. 他们抽签确定每人的排序 (1, 2,
    3, 4, 5), 然后, 从 1 号开始提出分配方案 `(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)`,
    其中 `Sigma x_i = 100`. 这方案由在场所有人 (包括提出者) 表决,
    若同意的人数过半 ( 严格 &gt; ), 就按此方案分配;
    否则将提出者扔进大海喂鲨鱼. 若 1 号被扔进大海, 则由
    2 号提出方案并由剩余在场的人按同样的规则表决. 依此类推.
    我们假设
    <li>每个海盗绝对理性, 即他们考虑的优先级都是
        自己的生命 &gt; 尽可能多的金钱 &gt; 在生命得到保障,
        并获得同样金钱的前提下, 尽可能减少同伙的数量.
    </li>
    <li>海盗都严格按照以上描述的规则进行分金,
        且每一轮表决的结果都能顺利执行.
    </li>
    那么, 1 号海盗应该提出怎样的最优方案?
</ol>

<ol class="solution" start="2">
    考虑 `n` 个海盗, `m` 枚金币的分金问题, 注意到 1 号被扔进大海后,
    这个问题就转换为 `n-1` 个海盗, `m` 枚金币.
    因此把所有海盗按提出方案的次序反向编号为
    `p_n, p_(n-1), cdots, p_1, p_1` (p 是 pirates 的首字母).
    记这时 1 号, 即 `p_n` 所提的方案为
    <span class="formula">
        `P(n) = (c_1, c_2, cdots, c_(n-1))`,
    </span>
    (P 是 Proposal 的首字母, c 是 coin 的首字母) 剩下的金币就全归 `p_n`.
    我们从较小的 `n` 开始考虑.
    <li>`n = 2` 时, 显然 `p_1` 总能否决
        `p_2` 的方案并把他扔进大海. 这是 `p_2` 要极力避免的情形.
    </li>
    <li>`n = 3` 时, 不论 `p_3` 提出什么方案, `p_2` 都要支持他. 此时
        `P(3) = (0, 0)`.
    </li>
    <li>`n = 4` 时, 除了 `p_4` 自己, 还需要两个拥护者来巩固自己的地位.
        只要开出比 `P(3)` 更高的价钱, `p_1, p_2` 是乐意支持的.
        此时 `P(4) = (1, 1, 0)`.
    </li>
    <li>`n = 5` 时, 同样需要拉拢两名拥护者,
        `P(5) = (2, 0, 1, 0)` 或 `(0, 2, 1, 0)`
    </li>
</ol>

<p class="example">
	<b>教授与三学生</b>
	教授在他的三个学生每人脑门上贴了纸条,
	告诉他们, 每人的纸条上写着一个正整数, 其中一个数是另外两数之和.
	这三个学生均非常聪明, 每人可以看见其他两人的数字, 但看不见自己的.
	教授问第一个学生: 你能猜出自己的数吗? 答不能. 问第二个, 答不能.
	问第三个, 答不能. 再问第一个, 答不能. 再问第二个, 答不能. 再问第三个,
	答 144. 教授满意地笑了. 请问另外两人的数字是多少?
</p>

<div class="solution">
	设三个人为 A, B, C, 对应数字为 `a, b, c`.
	<table>
		<tr>
			<td>事件</td>
			<td>情报</td>
		</tr>
		<tr>
			<td>开始</td>
			<td>`a, b, c != 0`, 每人的数字是其他两人数字的和或差</td>
		</tr>
		<tr>
			<td>A 说: 不能</td>
			<td>`b/c != 1/1`, 否则由 `a != 0` 知 `a != b-c`, 那么 `a
				= b+c`.
			</td>
		</tr>
		<tr>
			<td>B 说: 不能</td>
			<td>`a/c !in {1/1, 2/1}`, `a/c != 2` 是因为, 否则由 `b !=
				c = a - c` 推出 `b = a + c`.
			</td>
		</tr>
		<tr>
			<td>C 说: 不能</td>
			<td>`a/b !in {1/1, 1/2, 2/1, 2/3}`, 推理类似.</td>
		</tr>
		<tr>
			<td>A 说: 不能</td>
			<td>`b/c !in {1/2, 2/1, 2/3, 1/3, 3/1, 3/5}`</td>
		</tr>
		<tr>
			<td>B 说: 不能</td>
			<td>`a/c !in {1/2, 3/2, 3/1, 1/3, 5/3, 2/3, 4/3, 4/1, 2/5,
				8/5}`</td>
		</tr>
		<tr>
			<td>C 说: 144</td>
			<td>`a/b in {1/3, 3/1, 3/5, 3/2, 3/4, 1/4, 5/2, 5/8, 2/5, 4/1,
				4/7, 4/3, 4/5, 2/7, 8/3, 8/13}`</td>
		</tr>
	</table>
	结合 `144 = 2^4 * 3^2` 得
	<span class="formula">
		`a:b:c in {1:3:4, 3:1:4, 3:5:8, 4:5:9, 2:7:9}`,
	</span>
	即 `(a, b) in {(36, 108), (108, 36), (54, 90), (64, 80), (32, 112)}`.
</div>

<p class="example">
	<b>狗妈妈送肉</b>
</p>

<p class="example">
	<b>称假币</b>
</p>

<p class="example">
	<b>称巧克力</b>
	一条巧克力的标准重量是 30 g, 每盒有 12 条巧克力.
	现在生产了 10 盒巧克力, 已知其中一盒的每条巧克力是 31 g,
	而其它 9 盒符合标准. 只允许使用电子秤称一次,
	问如何找出这盒超重的巧克力?
</p>

<p class="example">
	<b>和先生与积先生</b>
</p>

<p class="example">
	能放入 10 枚硬币的正方形的最小边长?
</p>

<p class="example">
  假设有一对夫妇制定了如下策略: 若最小的孩子是男孩, 则不再生育;
  否则就再生一个孩子. 则他们期望的子女数是多少?
</p>

<p class="solution">
  设该期望数为 `x`, 则 `x = 1 + x//2`, 解得 `x = 2`.
  注意男女比例不是上述策略所能影响的, 因此该夫妇期望获得一子一女.
</p>

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</body>
</html>
